f(x)在R可导，f(x)+f'(x)＞0，证明f(x)=0最多有一个实根

Question

如题所述

Answer 1

因为f(x)+f'(x)>0
两边乘以e^x得f(x)*e^x+f'(x)*e^x>0

所以[e^x*f(x)]'>0
所以函数f(x)*e^x为单调增函数
所以f(x)*e^x=0在R上最多有一个实根
因为e^x>0恒成立
所以f(x)=0在R上最多有一个实根

Answer 2

设F（x）=f(x)e^x,F'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]＞0
F(x)在（-∞，+∞）上单调增加，如果f(x)=0有多于一个的实根，则F（x）=0，也有多于一个的实根，与单调性矛盾。所以f(x)=0最多有一个实根。

Answer 3

构造函数φ（x）＝1/2［f（x）]^2＋f（x）
则φ'（x）＝f（x）＋f'（x）
依题意,f（x）＋f'（x）＞0
即φ'（x）＞0,从而φ（x）单调递增!
又φ（x）可看作是t＝f（x）与φ（t）＝1/2t^2＋t复合而成,因此f（x）也在实数集R上单调递增!（同增异减原则）
①当lim（x→∞）f（x）＝0时,f（x）无零点!
②当lim（x→∞）f（x）＝∞时,f（x）有唯一零点!
综上：f（x）至多有一个零点!