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    • 若f(x)在实轴上处处可导,且f(x)+f'(x)>0,证明f(x)至多只有一个零点

    如题所述

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    第1个回答  2022-05-27
    构造函数φ（x）＝1/2［f（x）］∧2＋f（x）
    则φ'（x）＝f（x）＋f'（x）
    依题意,f（x）＋f'（x）＞0
    即φ'（x）＞0,从而φ（x）单调递增!
    又φ（x）可看作是t＝f（x）与φ（t）＝1/2t∧2＋t复合而成,因此f（x）也在实数集R上单调递增!（同增异减原则）
    ①当lim（x→∞）f（x）＝0时,f（x）无零点!
    ②当lim（x→∞）f（x）＝∞时,f（x）有唯一零点!
    综上：f（x）至多有一个零点!
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