f(x)在R上有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，证明若f'(0)存在，则函数在任一点都可导，并求f'(x)

Question

如题所述

Answer 1

证明：
令x=y=0,则:
f(0+0)=f(0)+f(0)+2*0*0,即f(0)=0

对R上任何一点x，不放假设T为其上一个微小的偏移量,T -> 0，有：
f(x+T)-f(x)=f(x)+f(T)+2*x*T-f(x)=f(T)+2*T*X

则f(x)在x上的导数为:
[f(x+T)-f(x)]/T = [f(x)+2*T*x]/T = f(T)/T + 2*x
= [f(T)-0]/[T-0] + 2*x
由于f(0)=0,所以有
[f(T)-0]/[T-0] + 2*x = [f(T)-f(0)]/[T-0] + 2*x = f'(0)+2*x

所以若f'(0)存在，则函数在任一点都可导，并且f'(x)=f'(0)+2*x