若f(x)在实轴上处处可导,且f(x)+f'(x)>0,证明f(x)至多只有一个零点

Question

如题所述

Answer 1

解：
构造函数φ（x）＝1/2［f（x）］∧2＋f（x）
则φ'（x）＝f（x）＋f'（x）
依题意，f（x）＋f'（x）＞0
即φ'（x）＞0，从而φ（x）单调递增！
又φ（x）可看作是t＝f（x）与φ（t）＝1/2t∧2＋t复合而成，因此f（x）也在实数集R上单调递增！（同增异减原则）
①当lim（x→∞）f（x）＝0时，f（x）无零点！
②当lim（x→∞）f（x）＝∞时，f（x）有唯一零点！
综上：f（x）至多有一个零点！

Answer 2

∵f(x)在实轴上处处可导,且f(x)+f'(x)>0
∴f(x)>-f'(x)
∵f(x)在实轴上处处可导
∴f'(x)≥0
即f(x)≤0
命题得证。
不知道对不，哈哈

Answer 3

反证法：
假设有多个零点，不妨设有两个零点x1、x2（x2>x1,这里应该是角标）。
因为f（x）处处可导，所以存在极值点x0，在极值点处f'(x0)=0，f(x0)>0，即为极大值。在x0右边f'(x0)<0，在x2处f(x)=0、f'(x0)<0，即f(x)+f'(x)<0，与题设中的f(x)+f'(x)>0矛盾。
所以最多只有一个零点。