证明：可测集E上的连续函数和单调函数是可测函数？

Question

如题所述

Answer 1

先清楚可测函数的定义，设函数是f(x)，那么f可测就是如果对于任意实数t，E(f>t)（E上使得f>t的那个子集）都是可测的，那么f就是可测函数。就采用这个定义。
①连续函数，设为f。连续函数有一个性质：对于任何λ∈R,集合{x | f (x) >λ }都是开集。这是个定理，你看看书上有没有，要是没有也可以证出来，就用数学分析里面的连续函数定义就可以。那么对于任意实数t，E(f>t)是开集，开集当然是可测的，所以f可测。
②单调函数，设为f。不妨设f单调递增，递减完全类似。对于任意实数t，假如t在f的值域内，则必然存在唯一的x0，使得f(x0)=t，所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E，当然是两个可测集角还是可测集，所以f可测。要是t不属于f值域，那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t0，f(x0)=t0，所以
E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E，还是可测集。如果t大于值域中任何数，E(f>t)=∅，当然也是可测的。综上单调函数f可测。