设e为r上的可测集,f(x)和g(x)都是e上的非负可测函数,若f(x)=0几乎处处于e,则f

Question

设e为r上的可测集,f(x)和g(x)都是e上的非负可测函数,若f(x)=0几乎处处于e,则f

Answer 1

需证明在f(x)≠g(x)的点集上∫|f(x)-g(x)|dx=0 只需证明|f(x)-g(x)|在这个点集上有限 这个容易证明，若非，则f或者g不可测，矛盾。

首先要知道一个结论：可测函数在零测集上的积分为0

由于f(x)=g(x) a.e. x∈E

则设zhiE=A∪B，其中f(x)=g(x)，x∈A

f(x)≠g(x)，x∈B

因此B为零测集，有∫(B) f(x) dx = ∫(B) g(x) dx = 0

左边=∫(E) f(x) dx

=∫(A) f(x) dx + ∫(B) f(x) dx

=∫(A) f(x) dx

=∫(A) g(x) dx

=∫(A) g(x) dx + ∫(B) g(x) dx

=∫(E) g(x) dx

=右边

扩展资料；

设E ⊂R^n，若对任意的点集T⊂R^n ，有 m*(T)=m*(T∩E)+m*(T∩E^c)，则称E为Lebesgue可测集，简称可测集，可测集的全体记为M，对于可测集E，称其外测度为测度，记为m(E)。可测集具有许多重要的性质：可测集的补集也是可测集；若A,B为可测集，则A∪B，A∩B，A\B皆为可测集；可测集列的并集和交集分别为可测集。常见的可测集有R^n中的矩体、开集、闭集、Borel集等。

注意事项如下：

（1）可测集的全体记为M，对于可测集E，称其外测度为测度，记为m(E)。

（2）称测度为零的可测集为零测集。空集、有限集、可数集皆为零测集。

（3）通常称定义中的条件为卡氏条件，称其中的集T为试验集。

参考资料来源：百度百科-可测集