证明任何一元单调函数都是L可测函数

Question

如题所述

Answer 1

设单调函数为f。不妨设f单调递增，递减的证法完全类似。

对于任意实数t，

若t在f的值域内，则必然存在唯一的x_0，使得f(x_0)=t，所以E(f>t)=区间(x_0,+∞)∩E，当然两个可测集之交还是可测集，所以f可测。

若t不属于f值域，那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t_0，f(x_0)=t_0，所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E，还是可测集；

若t大于值域中任何数，E(f>t)=∅，显然是可测集。

综上所述，单调函数f可测。