单调有界数列必收敛。

Question

正确 错误

Answer 1

正确。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。

如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。

这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)。

Answer 2

证明：我们只需证明，单调递增有上界的数列{xn}必收敛。
设数列{xn}有上界，那么它必存在上确界a=sup{xn}。（确界原理，实数集的公理之一，参见百度百科“实数集”词条）
对任意s>0，显然a-s<a，因而存在xN使得a-s<xN<=a。
于是当n>N时，就有a-s<xN<=xn<=a。
这就证明了limxn=a=sup{xn}。

单调递减有下界的数列收敛就是该命题的推论。证毕。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/587296.htm

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Answer 3

”单调有界数列必收敛“指的是数列的通项在n趋向无穷大时有极限（收敛），而不是指数列的和收敛。
　　例如调和级数，通项为1/n，单调递减（单调），且它的值介于0和1之间（有界），所以lim(n→∞)(1/n)极限存在。

Answer 4

证明：我们只需证明，单调递增有上界的数列{xn}必收敛。
设数列{xn}有上界，那么它必存在上确界a=sup{xn}。（确界原理，实数集的公理之一，参见百度百科“实数集”词条）
对任意s>0，显然a-s<a，因而存在xN使得a-s<xN<=a。
于是当n>N时，就有a-s<xN<=xn<=a。
这就证明了limxn=a=sup{xn}。
单调递减有下界的数列收敛就是该命题的推论。证毕。

Answer 5

正确 .
这个结论在中学里证明不了,在高等数学的教材里都会有的.