为什么向量|a·b|≤|a|*|b|，当：<a,b>=0或<a,b>=π时，等号成立只要a和b不共线，即不平行，

Question

都有：|a·b|<|a|*|b|

Answer 1

向量点乘的计算方式 就是两个向量的模长乘以夹角的余弦即
a·b=|a||b|cos<a,b>因为三角函数的范围是[-1,1] （需要注意的是，向量的点乘得到的结果是一个数而不是一个向量 因此|a·b|就是|a||b|cos<a,b> 的绝对值） 所以|a·b|的范围是[0, |a||b|] 所以 |a·b|≤|a|*|b|
不懂可追问追问

你说，因此|a·b|就是|a||b|cos 的绝对值，那它永远都是正数了， |a|*|b|，这个怎么理解，|a|*|b|cos，那它可正可负了，那因该是：|a·b|≥|a|*|b|，就是感觉好纳闷呀？

追答

不对呀 |a|*|b| 这么理解 |a| 就是向量a的长度 也叫向量a的模长 同理那个|b| 就是 就是向量b的长度 也叫向量b的模长 它们都只是一个数 和 2 3 100 没有区别 只是向量的模长的形式让你以为这是向量 |a|*|b| 不是向量的数量积 只是两个数相乘 懂了么 所以 |a|*|b| 就是一个正数 你说的应该是 向量a·向量b 那才是|a||b|cos

追问

你说|a|*|b| 不是向量的数量积 只是两个数相乘 ，这永远是一个正数， 你还说，|a·b|就是|a||b|cos 的绝对值，那它也是一个正数 ， 那怎么会小于呢 是不是前面|a·b|是向量数量积后面多了一个cos，它才会小于|a|*|b|，因为它是数

追答

对 其实就是 |cosx| 的取值小于等于 1 所以 你问的那个不等式成立 等号成立也是因为cosπ cos0 的绝对值都为1 不懂可追问

追问

cosx 当x=0或π时 |cosx| =1，这时|a||b|cos =|a|*|b|，cosx 当x=π/2，cosx=0，那么|a||b|cos=0 <|a|*|b|，cosx≠0或π，也不等于0，这么说|a·b|就是|a|的模乘以|b|的模，乘以分数，正数乘以分数只会越变越小，是这个道 理吗？

追答

可以这么理解 不过我认为 既然我已经说了 |cosx|《1 那么由不等式的性质就可以得到 两边同时乘一个正数 不等号方向不变 即
|cosx|《1 同乘 |a|*|b| 得
|a| *|b| * |cos| 《 |a| *|b|
所以
|a·b|≤|a|*|b| 你那种想法是初中的思想 还是用上面方式思考比较对路 你那个也正确

Answer 2

因为
|a·b|=|a|*|b|cos(a,b夹角)
当且仅当a,b平行时，cos(a,b夹角)=1
所以，|a·b|≤|a|*|b|追问

|a·b|≤|a|*|b|，请问这个怎么理解呀，|a·b|这个表示向量积的绝对值吗 ？|a|*|b|这个表示数量积吗 ？

追答

|a·b|=|a|*|b|*|cos(a,b夹角)|

|a·b|这个表示两个矢量的数量积的绝对值。|a|*|b|这个表示两个矢量的模的积。