高一数学 函数单调性，第二问怎么证明f(x2)＞0？

Question

如题所述

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令y=-1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）先利用赋值法求得f（3）=9开立方，再利用函数的单调性解不等式即可

 

 

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希望能帮到你

Answer 2

（1）猜想：f（x）为偶函数
证明：令y=-1。则f（-x）=f（x）f（-1）
∵f（-1）=1 ∴f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数∴猜想成立
（2）猜想：f（x）在（0，+∞）上单调递增
证明：假设存在f（x）=0 则有f（xy）=0成立，当x不为0时，xy∈R。则若x∈（-∞，0）∪（0，+∞），则f（x）中的自变量无论取何值f（x）都为0，显然这与题意不符。∴当x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，f（x）≠0恒成立
令x=y=根号z ，则f（z）=f²（根号z）≥0∵当z＞0时f（z）≠0
∴当z＞0时，有f（z）＞0恒成立。
由（1）可得f（1）=f（-1）=1
令y=1/x 则f（1）=f（x）f（1/x）即 f（x）f（1/x）=1＞0∴f（x）与f（1/x）同号
再设0<x1<x2 则有0<x1/x2<1 ∵当0＜x＜1时0＜f（x）＜1
∴0<f(x1/x2)<1∴f（x1）=f（x2 X x1/x2）=f（x2）f（x1x2）
∵x2＞0 ∴f（x2）＞0∴f（x1）=f（x2）f（x1x2）＜f（x2）即f（x1）＜f（x2）
∵0＜x1＜x2∴f（x）在（0，+∞）上单调递增∴猜想成立

这题的第二问要考虑很多因素 x＞0的时候f（x）是否一定＞0 这个是最关键的难点追问

为什么x2＞0,f(x2)＞0

追答

①0＜x＜1时，0＜f（x）＜1
②x=1时，f（x）=f（1）=f（-1）=1＞0
③x＞1时，0＜1/x＜1,。∴0＜f（1/x）＜1令y=1/x则f（1）=f（x）f（1/x）∴f（x）=f（1）/f（1/x）=1/f（1/x）∵0＜f（1/x）＜1∴1/f（1/x）＞1即f（x）＞1＞0
综上：由①②③得：x＞0时f（x）＞0恒成立。

追问

谢谢

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Answer 3

证明
f(x2)＞0
就是证明x>0时，f(x)>0,
已知0<x<1时，0<f(x)<1;

x=1时，f(x)=f(1)=1;
x>1时，0<1/x<1,f(1)=f(x)*f(1/x)，即f(x)=1/f(1/x)>0;
所以x>0时，f(x)>0;
因为x2>0;
所以f(x2)>0;
g635357的兄弟没话说了吧！

Answer 4

(2)令y=1/x>0，得　f(x)f(1/x)=f(1)=1，所以　f(x)与f(1/x)同号，由条件“0<x<1时，0<f(x)<1”可得
f(x)>0，f(1/x)>0
设0<x1<x2，则0<x1/x2<1，所以0<f(x1/x2)<1
从而　f(x1)=f[x2•(x1/x2)]=f(x2)f(x1/x2)<f(x2)
所以　f(x)在[0，+∞)上增函数。追问

如果f(x2)＜0就不对了

Answer 5

比较f（x1）和f（x2）可以用除法，即比较f（x1）/f（x2）,可以试试