简谐振动的周期公式推导

Question

T=2兀·sqr(m/k)
不要用单摆的例子，也不要用等效圆什么的，我需要普适的推导，用高等数学没关系，我还是看得懂的。
满意的话会加50左右

Answer 1

简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt..........(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt...............(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt........(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.........(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.....................(5)
简谐运动的定义:F=-kx.....................(6)
(5)(6) 两式相等得k=Mw*w..................(7)
把（7）式中的角速度w=2π/T 代入就得到了你所需要的公式了．

Answer 2

简谐振动的原始模型其实就是一个弹簧和一个小球，并假设只受弹力，
由牛顿第二定律f=ma可得kx=ma(x为小球的位移)，
将a等于x的二阶导代入kx=ma，并求解该微分方程，
为了使求解简单，则令w=sqr(m/k)，
之后就是代微分方程的公式，求出通解，
并代入初始条件，就可以求出简谐振动位移时间关系x=Asinwt，
sin函数的周期T=2兀/w，将w代入，则T=2兀·sqr(m/k）

以上是大物给出的大概推导过程，该推导的重点在于模型的建立，在固体物理中也会遇到同样的模型，后边的数学计算都是中规中矩的计算，没有什么难点（如果学了微分方程的话），简谐振动模型是研究粒子运动的基础，很重要

希望我的回答能帮上你的忙，祝你学习愉快

Answer 3

我说一个高中可以接受的方法
等效圆
假设一个质点在做匀速圆周运动
(没有图只能就叙述一下了)
一条半径OA
假设该质点运动从A点开始运动。转了角度θ到P点。。
则P点到半径OA的距离d=R*sinθ
刚好符合简谐振动的时间位移图像
这样就可以把这个圆周运动轨迹上的点到初始半径OA的距离
等效地看成是在上下振动
因为简谐振动F＝-kx
那么这个圆周运动里
垂直指向半径OA的等效的回复力F2=kR*sinθ
根据角度关系。可以算出指向圆心的向心力
F向=F2/sinθ＝kR
根据F向=mw^2*R
得w=√(k/m)
所以T=2π/w=2π√(m/k)
http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/12eaa61afa2972118718bf1e.html图解

Answer 4

令w^2=k/m
则振动方程：x=acos(wt+fi)
瞬时速度：v=-wasin(wt+fi)
根据周期定义：x=x`,
v=v`(运动状态相同的两点)
设周期为t
代入上面两式：
acos(wt+fi)=acos(w(t+t)+fi)
-wasin(wt+fi)=-wasin(w(t+t)+fi)
则
wt+fi+2kpi=w(t+t)+fi
其中k=1、2、3……
有因为t为最小正周期（相邻的运动状态相同的点），即k＝1
所以
t＝2×pi×w＝2×pi×sqrt(m/k)

Answer 5

如果你懂高等数学的话，那应该能看懂微分方程的求解。

推导如图所示