简谐振动的周期公式推导

Question

T=2兀·sqr(m/k)
不要用单摆的例子，也不要用等效圆什么的，我需要普适的推导，用高等数学没关系，我还是看得懂的。
满意的话会加50左右

Answer 1

简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt..........(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt...............(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt........(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.........(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.....................(5)
简谐运动的定义:F=-kx.....................(6)
(5)(6) 两式相等得k=Mw*w..................(7)
把（7）式中的角速度w=2π/T 代入就得到了你所需要的公式了．

Answer 2

一般的描述方程的形式为:
m*x''+c*x'+k*x=0,其中m为质量,c为阻尼系数,K为弹簧刚度.
讨论物阻尼的情况.
m*x''+k*x=0
x''+k/m*x=0;
令:X(s)=L(x(t))(Laplace变换)
则有:
s^2*X+k/m*X=0,即有:
X=1/(s^2+k/m);
在做Laplace逆变换,得到:
x(t)=cos(sqr(k/m)t)(其中的一个解,可以变换系数得到sin的解).
由此:
圆频率omega=sqr(k/m)
则:
周期T=2*pi/omega=2*pi*sq总的来说，用能量守恒，对1/4周期时间积分，再乘于4

已知：x=Asin(wt), 1/2mv^2+1/2k^2x=E=常数
======> v=sqrt[(2E-k^2x)/m]
===> v=dx/dt=wAcos(wt)
===> dt=dx/v
===> T/4=t-0=integral(0-->+A) {dx/v}
===> T/4=integral(-A-->+A) {dx/sqrt[(2E-k^2x)/m]}
....
....
===> T=2 pi sqrt(m/k) r(m/k)
简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt..........(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt...............(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt........(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.........(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.....................(5)
简谐运动的定义:F=-kx.....................(6)
(5)(6) 两式相等得k=Mw*w..................(7)
把（7）式中的角速度w=2π/T 代入就得到了你所需要的公式了．

Answer 3

最少有一个简单的模型
一般的描述方程的形式为:
m*x''+c*x'+k*x=0,其中m为质量,c为阻尼系数,K为弹簧刚度.
讨论物阻尼的情况.
m*x''+k*x=0
x''+k/m*x=0;
令:X(s)=L(x(t))(Laplace变换)
则有:
s^2*X+k/m*X=0,即有:
X=1/(s^2+k/m);
在做Laplace逆变换,得到:
x(t)=cos(sqr(k/m)t)(其中的一个解,可以变换系数得到sin的解).
由此:
圆频率omega=sqr(k/m)
则:
周期T=2*pi/omega=2*pi*sqr(m/k)

Answer 4

F=-kx=ma=mx''（x''为x的二阶导数，高等数学里的，高中竞赛也有的）。化简为x''+xk/m=0，用高等数学解，公式代一代就好了。解得x=cos[sqr(k/m)T+b],则T=2兀/sqr(k/m)=2兀·sqr(m/k)
。你说你看得懂的，就简述了。

Answer 5

根据力学定律进行推导,任何形式的简谐振动最后都可以写成一个二阶微分方程的标准形式:x''+ω2x=0,x前面的系数就是圆频率ω的平方,而周期为T=2π/ω.