简谐运动的周期公式证明

Question

如题所述

Answer 1

为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。 因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。
圆周运动的 ；很明显v无法测量到，所以根据 得到 。
其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即 （F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。所以得到 ；
因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到： 。
然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到 。 首先必须明确只有在偏角不太大的情况（高中课本认为小于5°均可）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。
见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移x（回复力）垂直于平衡位置。于是我们便可以得到sinα≈ 。同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2，重力分力1即L的延长线。于是我们可以得到△AOB与重力和它的分力所构成的三角形相似（注意相似时的三角形方向）即可得到： 。
注意：此处比例关系中的位移x虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F，但是必须清楚在意义上G2才是真正的回复力F，因为回复力F为重力与速度平行方向上的分力即G2 。
于是根据相似我们可以得到 ，于是化简得到 ，于是得到 ，然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式 。