简谐运动的运动方程推导

Question

如题所述

Answer 1

简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。

圆周运动的  ；很明显v无法测量到，所以根据  得到  。

其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即  （F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。所以得到  ；

因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：  。

然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到  。

将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；

将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，则：  ；

将φ记为 t=0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。

则，在t时刻：

简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；

简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；

简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。

扩展资料：

如果用F表示物体受到的回复力，用x表示小球对于平衡位置的位移，根据胡克定律，F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：F = -kx

式中的k是比例系数（只是在弹簧振子系统中k恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。负号只代表方向，不代表数值正负。

如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。

因此，简谐运动常用  作为其运动学定义。其中振幅A，角频率  ，周期T，和频率f的关系分别为：  、  。

参考资料：百度百科——简谐运动

Answer 2

定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：
若：
将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；
将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，则： ；
将φ记为 t=0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。
则，在t时刻：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。 根据简谐运动的定义，在右图的示意图中，我们可以清晰的看出上面各个概念在途中的表示。O点为圆心，也为简谐运动的平衡位置。
对位移的推导使用三角函数的有关知识（ωt+φ）即角度,运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（此图中位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。
因为速度即为 ，运用微积分的知识对位移方程进行微分，便可得到导数 =-ωRsin（ωt+φ），即v=-ωRsin（ωt+φ）。
同理，加速度为 ，也可以写为 （二次导数），于是我们再次对速度方程进行微分，得到二次导数 =-ω2Rcos（ωt+φ），即a=-ω2Rcos（ωt+φ）。
说明
1、这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。
2、做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。 右图是用微分方程法对简谐运动的物理过程的详细推导，其中的表达式都用严格的公式给出：

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Answer 3

定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：
若：
将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；
将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，则： ；
将φ记为 t=0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。
则，在t时刻：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。 根据简谐运动的定义，在右图的示意图中，我们可以清晰的看出上面各个概念在途中的表示。O点为圆心，也为简谐运动的平衡位置。
对位移的推导使用三角函数的有关知识（ωt+φ）即角度,运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（此图中位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。
因为速度即为 ，运用微积分的知识对位移方程进行微分，便可得到导数 =-ωRsin（ωt+φ），即v=-ωRsin（ωt+φ）。
同理，加速度为 ，也可以写为 （二次导数），于是我们再次对速度方程进行微分，得到二次导数 =-ω2Rcos（ωt+φ），即a=-ω2Rcos（ωt+φ）。
说明
1、这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。
2、做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。 右图是用微分方程法对简谐运动的物理过程的详细推导，其中的表达式都用严格的公式给出：

Answer 4

微积分推导如下：
E=1/2mv^2+1/2kx^2
则v=√((2E-kx^2)/m)
即dx/dt=√((2E-kx^2)/m)
所以dx/√((2E-kx^2)/m)=dt
化简得,dx/√((1-(kx^2)/2E))=√2E/m)dt
令(kx^2)/2E=sin⁡∂^2
可得dx/d∂=√2E/k)cos∂
dx=√2E/k)*cos∂*d∂
将dx代入化简得到的式子,可得d∂=√k/m)dt
积分得∂=√k/m)t
取正弦值，得sin∂=sin√k/m)t
即√(kx^2)/2E）=sin√k/m)t
设x的最大值为A，即振幅。得E=1/2kA^2
将E代入原式，得x=Asin√k/m)t
即简谐运动的运动方程。
主要就是运动机械能守恒来进行推导，中间的积分最为关键。