请问这道题目怎么证明数列有界，并求出数列极限？

Question

如题所述

Answer 1

1、用数学归纳法来证这个数列单调递增
因为x1=√2 x2=√(2+√2)>√2=x1
所以x2>x1
假设当n=k时，有xk>x(k-1)
则当n=k+1时，x(k+1)-xk=√(2+xk)-√(2+X(k-1))=[xk-x(k-1)]/ √(2+xk)+√(2+X(k-1))
由假设xk>x(k-1)，所以x(k+1)-xk>0
即x(k+1)>xk
所以这个数列是单调递增数列
2、用数学归纳法来证这个数列有界
因为x1=√2 <2
假设当n=k时，有xk<2
则当n=k+1时，x(k+1)=√(2+xk)<√(2+2)=2
即x(k+1)<2
于是这个数列有上界是2