单调递增数列而且有上界2,故极限存在。
lim(n→∞)xn=2
设极限为a
x(n+1)=√(2+xn)
两边取极限得到
a^2-a-2=0
a=2
假设{An}收敛到A,则由定义,存在 N > 0,使得对任意 n > N 时有 |An - A| <= 1。故 |An| = |An - A + A| <= |An - A| + |A| <= 1 + |A|,对任意 n > N 成立。故显然{An}有界。
N的相应性
一般来说,N随ε的变小而变大,因此常把N写作N(ε),以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的:(比如若n>N使|xn-a|<ε成立,那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。