如何证明一个数列是有界的？

Question

如题所述

Answer 1

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵，|AB O|；|O En|。

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有|AB A|；|0 En|。

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有|0 A |；|-B En|。

所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)；即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。

如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。

这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

Answer 2

存在M>0，存在正整数N，对所有n>N，有|an|<M

则数列{an}是有界的