利用单调有界原理求数列极限时，当证明出数列单调且有界时，那个界怎样证明就是数列的极限？

Question

如： x1>0,xn+1=1/2(xn+1/xn),求xn的极限时，已求得下界为1，且数列单调递减，则极限怎么说明也为1？

Answer 1

好像没有任何证据证明“界”=“极限”

不过可以求得极限
因递减数列Xn存在下界，所以Xn有极限A
Xn+1也有极限，
所以可两边求极限lim（Xn+1）=lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)
等价于limXn×lim（Xn+1）=limXn×lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)
右式=lim（Xn×1/2(Xn^2+1)/Xn)=1/2(limXn)^2+1/2=1/2A^2+1/2
左式=A^2+A
解得A=1

Answer 2

两边取极限，xn+1=1/2(xn+1/xn),

A=1/2(A+1/A) 解方程 极限A