正交向量组的线性无关证明

Question

如果线性代数学的好的朋友可以帮忙指导下，我这个月20号就期末考试了…这个问题会涉及到的…时间很急！会的朋友帮下忙哈…非常感谢！！！

Answer 1

正交向量组｛α1，α2，……。αn｝指①每个αi≠0. ②i≠j时：（αi,αj）＝0（数积）

假如向量组｛α1，α2，……。αn｝线性相关。则从“相关可表等价定理”，必有一个向量可以表示成

其余向量的线性组合。不妨设α1＝k2α2+……+knαn,

有（α1,α1）＝（α1,k2α2+……+knαn）＝k2（α1,α2）+……+kn（α1,αn）＝0. α1=0 与①矛盾。

所以，向量组｛α1，α2，……。αn｝线性无关。

Answer 2

证明：设p[1],...,p[n]是正交向量组。
假设p[1],...,p[n]线性相关，则存在不全为0的实数k[1],...,k[n]使
k[1]p[1]+...+k[n]p[n]=0。
对任意i=1,...,n，等式两边同乘以p[i]^T，有
k[1]p[i]^Tp[1]+...+k[n]p[i]^Tp[n]=0。
由正交向量组的定义，当j≠i时，p[i]^Tp[j]=0，且p[i]^Tp[i]>0，因此
k[i]p[i]^Tp[i]=0，即k[i]=0。
注意以上推导对任意i=1,...,n都成立，因此
k[1]=...=k[n]=0，
这与k[1],...,k[n]不全为0矛盾！
所以p[1],...,p[n]线性无关。

Answer 3

ε1,ε2,…,εn为正交向量组，且k1*ε1+k2*ε2+…kn*εn=0,则0=(0,εi)=(k1*ε1+k2*ε2+…kn*εn,εi)=ki(εi,εi)=ki,即ki=0(i=1,2,…,n),所以ε1,ε2,…,εn线性无关.

Answer 4

证明：设p[1],...,p[n]是正交向量组。
假设p[1],...,p[n]线性相关，则存在不全为0的实数k[1],...,k[n]使
k[1]p[1]+...+k[n]p[n]=0。
对任意i=1,...,n，等式两边同乘以p[i]^T，有
k[1]p[i]^Tp[1]+...+k[n]p[i]^Tp[n]=0。

Answer 5