设α1,α2,……,αs是欧式空间V中的正交向量组,证:α1,α2,,αs必线性无关

Question

设α1,α2,……,αs是欧式空间V中的正交向量组,证:α1,α2,,αs必线性无关

Answer 1

反证法：

假设线性相关，即存在不全为0的系数，使得
k1α1+k2α2+...+ksαs=0

对上式左右两边同时作与α1的内积，得到
（k1α1+k2α2+...+ksαs，α1）=0

也即

k1(α1,α1)+k2(α2,α1)+...+ks(αs,α1)=0

而因为向量α1,α2,……,αs都是相互正交的，则
(α2,α1)=...=(αs,α1)=0

因此k1(α1,α1)=0
由于α1显然不是零向量，则(α1,α1)>0
因此k1=0

同理，可证k2=k3=...=ks=0

但这与假设矛盾！因此假设不成立