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如果向量组线性无关,证明向量组线性无关。
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第1个回答 2019-11-23
正交向量组{α1,α2,……。αn}指①每个αi≠0.
②i≠j时:(αi,αj)=0(数积)
假如向量组{α1,α2,……。αn}线性相关。则从“相关可表等价定理”,必有一个向量可以表示成
其余向量的
线性组合
。不妨设α1=k2α2+……+knαn,
有(α1,α1)=(α1,k2α2+……+knαn)=k2(α1,α2)+……+kn(α1,αn)=0.
α1=0
与①矛盾。
所以,向量组{α1,α2,……。αn}线性无关。
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证明
:若一个
向量组线性无关,
则它的任何一个部分向量组也线性无关。
答:
设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分
向量组线性相关
比如x1,x2,x3,就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 时,a1,a2,a3,不全为0,则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0 令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立,就是b1到bn不全为0 所以原向量组线性相关 ...
如何
证明
:向量组中任意两个向量线性无关是
向量组线性无关
的充分条件
答:
因为 a1,a2,a3,an 线性无关 所以 x 可由 a1,a2,a3,an 线性表示 充分性:由已知
,n维基本向量组 ε1,ε2,εn 可由 a1,a2,a3,an 线性表示 而由于 a1,a2,a3,an 可由 ε1,ε2,εn 线性表示 故两个向量组等价,故有相同的秩 即有 r(a1,a2,a3,an) = r(ε1,ε...
设
向量组
α1,α2,α3
线性无关,证明
:向量组α1+α3,α2+α3,α3也线性...
答:
因为α1,α2,α3
线性无关,
所以A的秩为3 从而B的秩也为3,从而α1+α3,α2+α3,α3线性无关,
设
向量组
α1,α2,α3
线性无关,证明
:向量组α1-a2-2α3,α2-α3,α3...
答:
可以用 a1、a2、a3 线性表出,而 a3=b3,a2=(a2-a3)+a3=b2+b3,a1=(a1-a2-2a3)+(a2-a3)+3a3=b1+b2+3b3,因此 a1、a2、a3 也可以用 b1、b2、b3 线性表出,所以
向量组
{a1,a2,a3}与{b1,b2,b3}的秩相等,由于 a1、a2、a3
线性无关,
所以 b1、b2、b3 也线性无关。
证明
:若一个
向量组线性无关,
则它的任何一个部分向量组也线性无关。
答:
向量组{an}线性无关 假设部分向量组 {ani}, {ni}是1,2,...,n的一个子集 若{ani}线性相关 则存在不全为零的数列,{kni} 使得sigma kni ani =0 然后把向量组补全,令补上的向量的kn全是0 (kni依旧不变)我们就有 sigma kn an =0, 其中kn不全为零,这与原
线性向量组线性无关
矛盾 ...
...
证明
:
如果向量组
α、β、γ
线性无关,
则向量组 α+β、β+γ...
答:
若线形相关,则存在一组不全为0的系数k1、k2、k3:k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=0 整理得:(k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0 由α、β、γ
线性无关,
知k1+k3=k1+k2=k2+k3=0 解得k1=k2=k3=0,与k1、k2、k3不全为0矛盾。故α+β、β+γ、γ+α线性无关 ...
证明
:若
向量组
α1.α2.α3.α4,α5
线性无关,
则向量组α1+α2,α2+α...
答:
因为
向量组
α1.α2.α3.α4,α5
线性无关,
所以k1+k5=0,k1+k2=0,k2+k3=0,k3+k4=0,k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0 所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0,所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α...
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