可以如图求出通项开n次方的极限是1/3<1，所以由根值判别法可知这个级数是收敛的。
根值审敛法是判别级数敛散性的一种 方法 ，由法国数学家柯西首先发现。能用比值审敛的也肯定能用根值审敛解决，能根值审敛的不一定能用比值审敛，当数列单调（广义单调）有界时两种方法都可行，遇到负数的n次幂先考虑根值审敛。
一元函数的广义积分敛散性
一元函数的广义积分敛散性的分析，包括判定 绝对收敛性、条件收敛性、发散性，具有广泛的应用性，很多数学建模都得到广义积分，就此首先需要判定广义积分是否收敛，不然就需要考虑模型的合理性。如：
1、绝对收敛性：主要基于比较的思想，但仅限于 不变号的函数，往往可以利用无限小分析方法。
2、自身收敛性：主要基于 Abel-Dirichlet判别法，或者直接按 Cauchy收敛原理进行估计。
3、绝对发散性：对应不变号函数，基于比较的思想。
4、自身发散性 对于具体的广义积分，构造 特定的片段积分 违反 Cauchy收敛原理。
可以如图求出通项开n次方的极限是1/3<1，所以由根值判别法可知这个级数是收敛的。
设lim(n→∞) un^(1/n)＝ρ＜1，则对于ε：0＜ε＜1－ρ，存在正整数N，当n＞N时，un^(1/n)＜ρ＋ε＜1，所以，un＜(ρ＋ε)^n，因为∑(ρ＋ε)^n收敛，所以∑un收敛。
若ρ＞1，则由极限的保号性，存在正整数N，当n＞N时，un^(1/n)＞1，所以un＞1，所以un的极限不可能是0，所以∑un发散。
敛散性的作用：
在实际的数学研究以及物理、天文等其它学科的应用中，经常会自然地涉及各种发散级数，所以数学家们便试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和，并在这种意义之下研究所涉及的发散级数。
每一种定义都被称为一个可和法，也被理解为一类级数到实数或复数的一个映射，通常也是一个线性泛函，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法与波莱尔可和法等。
可和法通常保持收敛级数的收敛值，而对某些发散级数，这种可和法和能额外定义出相应级数的和。例如切萨罗可和法将格兰迪级数。
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