可逆矩阵性质的证明

Question

证明：(AB)^-1 = B^-1 A^-1

我的证明是
(AB) (AB)^-1 = E
=> A[B(AB)^-1] = AA^-1
=> B(AB)^-1 = A^-1
=> B(AB)^-1 = EA^-1
=> B(AB)^-1 = BB^-1 A^-1
=> (AB)^-1 = B^-1 A^-1

我的疑问是为什么不能是：
(AB) (AB)^-1 = E
=> A[B(AB)^-1] = AA^-1
=> B(AB)^-1 = A^-1
=> B(AB)^-1 = A^-1E
=> B(AB)^-1 = A^-1 B^-1 B
=> (AB)^-1 = A^-1 B^-1

尽管我知道(AB)^-1 = A^-1 B^-1 是错的

Answer 1

B(AB)^-1 = A^-1 B^-1 B
=> (AB)^-1 = A^-1 B^-1
这一步是不成立的，你的依据是什么？
B(AB)^-1 = BB^-1 A^-1
=> (AB)^-1 = B^-1 A^-1
上面这个是两边同乘以 B^-1得到的

Answer 2

(AB) (AB)^-1 = E
=> A[B(AB)^-1] = AA^-1
=> B(AB)^-1 = A^-1
=> B(AB)^-1 = A^-1E
=> B(AB)^-1 = A^-1 B^-1 B
以上正确，以下不正确，因为矩阵不满足交换律，上面等式中的B不能约去。
=> (AB)^-1 = A^-1 B^-1本回答被提问者采纳