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证明矩阵可逆的方法
请大家帮忙解释下哈~~
老师前几天讲了但没完整记下来哈..
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推荐答案 2019-10-27
证明矩阵可逆的方法如下
1、矩阵的秩小于n,那么这个矩阵不可逆,反之可逆;
2、矩阵行列式的值为0,那么这个矩阵不可逆,反之可逆;
3、对于齐次线性方程AX=0,若方程只有零解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆;
4、对于非齐次线性方程AX=b,若方程只有特解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。
一、逆矩阵
设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:
AB=BA=E。
则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
注:E为单位矩阵。
二、定义
一个n阶方阵A称为可逆的,或非奇异的,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E.
并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
三、性质
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、(唯一性)如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T
(转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
4、证明
1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。
设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C。
2、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=IC,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。
4、矩阵A可逆,有AA-1=I
。(A-1)
TAT=(AA-1)T=IT=I
,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I
5、由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。
1)在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O
而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O
2)由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I
。
得B-C=O,即B=C。
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其他回答
第1个回答 推荐于2017-09-27
1.利用定义,AB=BA=E,如果存在矩阵B,则B为A的
可逆矩阵
,A就可逆。
2.判断是否为
满秩矩阵
,若是,则可逆。
3 看这个矩阵的行列式值是够为0,若不为0,则可逆。
4 利用初等矩阵判断,若是初等矩阵,则一定可逆。本回答被提问者采纳
第2个回答 2020-12-23
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