一、正定矩阵判定：
1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。
3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
二、判定一个矩阵半正定：
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。
三、负定矩阵判定：
1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。
2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。
4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。
扩展资料：
正定性
n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量
若Q>0就称A为正定矩阵。若 Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵 。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。
实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。
实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；
参考资料：百度百科-矩阵
参考资料：百度百科-半正定矩阵
参考资料：百度百科-负定矩阵
如果是正定矩阵，那么矩阵的特征值全部为正！
如何辨别正定和半正定和负定：
一． 定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。
二． 正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。
4．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。
三． 负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0)
，则称f(x)
为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令a为
阶对称矩阵，若对任意n
维向量
x
0都有
＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n
阶对称矩阵，若对任意
n
维向量
x≠0
,都有
＜0（≤
0），
则称a负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵e
就是正定矩阵。
二．
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的
n
个特征值全是正数。
证明：若
，
则有
∴λ＞0
反之，必存在u使
即
有
这就证明了a正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。
证明：a正定
二次型
正定
a的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在
n阶可逆矩阵u使
；进一步有
（b为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使
令
则
令
则
反之，
∴a正定。
同理可证a为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素
，且
。
证明：（1）∵n阶对称矩阵a正定
∴
是正定二次型
现取一组不全为0
的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有
∴
∴a正定
∴存在可逆矩阵c
，使
5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的
n
个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型
是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
，
现证
是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数
，有
∴
是正定的
∴
的矩阵
是正定矩阵
即
即a的顺序主子式全大于零。
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵
，
显然
是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令
，
，
∴a可分块写成
∵a的顺序主子式全大于零
∴
的顺序主子式也全大于零
由归纳假设，
是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵q使
令
∴
再令
，
有
令
，
就有
两边取行列式，则
由条件
得a＞0
显然
即a合同于e
，
∴a是正定的。
三．
负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的特征值全小于零。
3．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的顺序主子式
满足
，
即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于a是负定的当且仅当-a是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1．
n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的正惯性指数等于它的秩。
2．
n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3．
n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证a是半正定的，例如：
矩阵
的顺序主子式
，
，
，
但a并不是半正定的。
关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
正定矩阵
1.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
2.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。
3.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
判定一个矩阵半正定
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2、半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。
负定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。
1. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。
2. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。
3. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。
特征值全为正数的矩阵为正定矩阵。反之，特征值全为负数的矩阵为负定矩阵。
任意给一个对称阵，做他的特征分解：，那么，。这里，由于是一个正交阵，则为的一个线性变换。考虑到定义中具有任意性，显然也具有任意性。令，即原定义等价于分析是否存在任意的，使得恒成立。
2.也就是说，【重要结论一】分析对称阵的正定性，等价于分析其特征值对角阵的正定性。
3.为了叙述方便，记。容易知道，特征值对角阵是正定阵必须要求所有特征值为正，半正定则要求所有特征值非负。关键在于正定性定义中具有任意性。
4.假若存在某个特征值，显然可以构造（第i位是1），则，则违背了正定性定义。由反证法容易知道【结论二，也就是正定性和特征值关系】正定必须所有特征值为正，也就是特征值均为正。同理可以证出，半正定要求特征值必须非负。