怎样判断二次型的正定性或者负定性？

Question

如题所述

Answer 1

二次型是形如f(x1, x2, ..., xn) = x11A11 + x12A12 + ... + x1nA1n + x21A21 + x22A22 + ... + x2nA2n + ... + xnnAnn的函数，其中Aij是常数矩阵。如果一个二次型是半正定的，那么对于任意非零向量x，都有f(x) >= 0；如果一个二次型是半负定的，那么对于任意非零向量x，都有f(x) <= 0。
判断一个二次型是否为半正定或半负定，可以使用以下方法：
1. 特征值法：首先计算二次型的特征值，然后判断这些特征值是否满足条件。如果所有特征值都大于等于0，则二次型为半正定；如果所有特征值都小于等于0，则二次型为半负定。
2. 矩阵法：将二次型的系数矩阵A分解为A = PTQ的形式，其中P和Q都是正交矩阵，T是对角矩阵。然后计算对角矩阵T的元素之和，如果这个和大于等于0，则二次型为半正定；如果这个和小于等于0，则二次型为半负定。
3. 秩法：计算二次型的系数矩阵A的秩，如果秩为n（n为向量x的维数），则二次型为半正定；如果秩小于n，则二次型为半负定。
需要注意的是，以上方法只能判断二次型是否为半正定或半负定，不能确定其是否为严格半正定或严格半负定。要判断严格半正定或严格半负定，需要使用更严格的条件。