积分上限函数题

Question

如图第三题

Answer 1

f(x)=∫(0->x^2) (2-t)e^(-t) dt
f'(x) =2x . (2-x^2)e^(-x^2)
f'(x) =0
x=0 or √2 or -√2
f'(x) | x=0+ >0

f'(x) | x=0- <0
f'(x) | x=√2+ <0
f'(x) | x=√2- >0
x=√2 (max)
max f(x)
=f(√2)
=∫(0->2) (2-t)e^(-t) dt
= -2[e^(-t)]|(0->2) -∫(0->2) te^(-t) dt
=2[ 1- e^(-2) ] + ∫(0->2) tde^(-t)
=2[ 1- e^(-2) ] + [ te^(-t)]|(0->2) - ∫(0->2) e^(-t) dt
=2[ 1- e^(-2) ] + 2e^(-2) - ∫(0->2) e^(-t) dt
=2 +[e^(-t)]|(0->2)
=2 +[ e^(-2) -1 ]
=1 +e^(-2)追问

那我怎么就能确定从根号2到2这个区间不会产生更大的值呢

追答

f'(x) =0
在 （0，2） 之间只有1个根 ， 就是√2
已经证明了 x=√2 取最大值
f'(x) | x=√2+ 0
x=√2 (max)
基于f(x) 是连续函数， 所以√2到2这个区间不会产生更大的值

Answer 2

用y去积分，不要用x