如图的式子可以作为导数的等价定义吗

Question

图一的式子能否作为f（x）在x0点的等价定义，我的思路如图二，可以证明第三行里的两个式子都是f'（x0）的等价定义。
但是我的教科书书上说图一的式子不能作为等价定义，有人可以指出一下我的错误吗

Answer 1

如果导数存在必然等于上面这个式子，但是这不是等价的。满足这种条件的部一定是可导的，例如f(x)=|x|

主要问题在于你的+deltax和-deltax是对称的，而导数等价定义要求两者没有任何关系追问

是不是这个式子推不出原定义。可以举一个反例吗？

追答

我不是已经举了反例么？f(x)=|x|在x=0处，你那个式子总得到极限=0，但是导数并不存在

Answer 2

加上条件，f在x0连续，才可以。