导数的定义

Question

在做关于连续和可导的题目。做题过程中书上说一阶可导不可以用洛必达法则求极限值，二阶可导可以用洛必达。我勉强记住了。不过我发现书上大致有一阶可导，一阶可导且连续，二阶可导，二阶可导且连续这四个条件，我想问一下，它们分别代表了什么，意思就是它们做题过程中有什么区别（哪些可以用洛必达之类的区别）这里发一个例题，不需要你做题，只是给你看一下我问的是什么类型的题目

Answer 1

1、导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度

2、导数是用来找到“线性近似”的数学工具

3、导数是线性变换

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

扩展资料

（1）在解决函数的问题时，必须在函数的定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．

（2）函数的最大值、最小值是通过比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出来的。

函数的极值可以有多个，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

（3）注意原函数极值点和导函数零点的区别，原函数的极值点是导函数的零点，反之不成立.

参考资料来源：百度百科-导数

Answer 2

可以的，除了原始定义以外。框内可以填e^x+2-1，即e^x+1,令x趋向于0.

其实导数定义就是需要一个

这个变化量可以以不同形式出现，只要保证左右导数存在即可。

注意不是任意的无穷小量都可以填进去，比如说x^2就不行，无穷小量需要从负数和正数两个方向都趋向于0，这样才有左导数和右导数均存在且相等。

Answer 3

这用得着计算么？
这就是添加的一个式子
为了凑出两个导数的定义式来
lim△x趋于0 [u(x+△x)v(x+△x) -u(x)v(x)]/△x
不能直接计算
那么凑上u(x+△x)v(x)，即
lim△x趋于0 [u(x+△x)v(x+△x) -u(x+△x)v(x)]/△x +[u(x+△x)v(x) -u(x)v(x)]/△x
这样前后都是导数定义
得到u(x+△x)v'(x) +u'(x+△x)v(x)
代入△x趋于0，即u(x)v'(x) +u'(x)v(x)

Answer 4

1导数的定义

Answer 5

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。