高数题 要详解

Question

设X1=1,X(n+1)=√(3+2*Xn) n=1，2……
证数列［Xn]收敛并求极限

Answer 1

首先证明该数列有界
x1<3,设x(n)<3,则x(n+1)=√(3+2*Xn) <√(3+2*3) =3,所以有上界，显然x(n)>0.
下面证明单调
因为x(n)>0.，[x(n+1)]²-[x(n)]²=.[x(n+1)+x(n)][x(n+1)-x(n)]，所以

x(n+1)-x(n)与[x(n+1)]²-[x(n)]²的正负相同，
显然x2>x1,设x(n)>x(n-1),即x(n)-x(n-1)>0,
而[x(n+1)]²-[x(n)]²=√(3+2*Xn)-√(3+2*Xn-1)=2[x(n)-x(n-1)]/{√(3+2*Xn)+√(3+2*Xn-1)}
故此有[x(n+1)]²-[x(n)]²>0,从而x(n+1)>[x(n)，即该数列是单调增加的。所以极限存在。
设极限为 s
对 X(n+1)=√(3+2*Xn)两端取极限，有s=√(3+2*s),s²=3+2s,解得s=-1(舍去)，s=3
求得数列的极限是 3

Answer 2

1：X1=1<3, 由归纳法：X(n+1)=√(3+2*Xn)<√9=3
2：X2-X1=√5-1>0
X(n+1)-Xn=√(3+2*Xn)-√(3+2*X(n-1))
=2(Xn-X(n-1))/(√(3+2*Xn)+√(3+2*X(n-1)))
由归纳法：X(n+1)-Xn>0,
所以Xn单增有上界，数列收敛，设极限为a
在X(n+1)=√(3+2*Xn)两边取极限的：a=√(3+2a)
解得a=3, limXn=3

Answer 3

x(n+1)-3=√[3+2x(n)]-3= 2[x(n)-3]/{√ [3+2x(n)]+3}
x(1)-3<0 使用数学归纳法可证明 任何项x(n)<3
当x(n)<3时 2/{√ [3+2x(n)]+3}<2/{√ [3+2×3]+3}=1/3
知 0<3-x(n+1)<(3-x(n))/3
所以 0<3-x(n+1)<(3-x(1))/3^n ---->0 (n--->+∞）
limx(n+1)=3

Answer 4

x1, 所以xn>0
X(n+1)-Xn=√(3+2*Xn)-Xn=(-Xn^2+2Xn+3)/(√(3+2*Xn)+Xn)
所以当Xn<3时，X(n+1)-Xn>0,即Xn单调递增，
当Xn>3时，X(n+1)-Xn<0,即Xn单调递减，
所以Xn收敛，
设Xn的极限为c
则c=√(3+2*c)
解得c=3