若定义在R上的函数F（x）满足：对于任意x1 x2 属于R，均有F(X1+X2)=F(X1)+F(X2)+1,则 F(X)是什么函数

Question

如题所述

Answer 1

令x1=x，x2=0，有F（x）=f（x）+f（0）+1，
则F（x1+x2）=f（x1+x2）+f（0）+1=f（x1）+f（x2）+1，
于是 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-f（0）。
若f（x）可导，则由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0),
有[f(x+y)-f(x)]/y=[f(y)-f(0)]/y,
于是，令y->0,得f’（x）=f‘（0）为常数，
可得f（x）=ax+b

所以为一次函数

满意请好评 谢谢追问

A.F(X)是奇函数 B.F(X)是偶函数
C.F(X)+1是奇函数 D.F(X)+1是偶函数

追答

取x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1=2f(0)+1、f(0)=-1。
取x1=x、x2=-x，则
f(x1+x2)=f(0)=-1=f(x)+f(-x)+1。
即f(-x)+1=-f(x)-1=-[f(x)+1]。
所以，f(x)+1为奇函数，选C。

白费劲了。。。

求好评。。

追问

F(-X1-X2)=F(-X1)+F(-X2)+1
若F(X)为偶函数则F(-X1-X2)=F(X1)+F(X2)+1=F(X1+X2) 所以为B成立
不对吗

追答

若F(X)为偶函数则F(-X1-X2)=F(X1)+F(X2)+1=F(X1+X2) 所以为B成立
你这是在F(X)为偶函数为前提的条件下成立 的
是个充分条件
你知道F(-X1-X2)=F(X1)+F(X2)+1=F(X1+X2)能推出F(X)为偶函数？
你把问题和条件弄反了