考研高数-利用单调有界准则证明证明数列极限存在

Question

设a>0,X1=根号（2+a）,Xn+1=根号(2+Xm) 证明：lim n->无穷 Xn存在，并求其值

Answer 1

当0<a<2时，0<{xn}单调递增，但xn<=2.单调有界所以极限存在。
当a=2时，{xn} 恒为2.极限存在。
当a>2时，{xn}单调递减，但xn>=2.单调有界所以极限存在。
其极限均为 2.下面求之：
根据xn+1=(2+xn)^0.5,得xn+1^2=2+xn，当n趋向无穷时，因为{xn}极限存在，所以xn+1=xn
所以可变为x^2-x-2=0.所以x=2或-1（舍去）
所以极限为2，得证

Answer 2

1.a《2
X1=√(2+a)《2
X(n+1)=√(2+Xn)《√(2+2)=2 Xn有上界2
X2=√(2+X1)=√(2+√(2+a))》√(2+a)=X1
X(n+1)=√(2+Xn)》√(2+Xn-1)=Xn Xn单增
2.a>2
X1=√(2+a)>2
X(n+1)=√(2+Xn)>√(2+2)=2 Xn有下界2
X2=√(2+X1)=√(2+√(2+a))<√(2+a)=X1
X(n+1)=√(2+Xn)<√(2+Xn-1)=Xn Xn单减

所以：Xn单调有界有极限本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

你确定题目没打错追问

没错，放心吧

追答

n 1是下标吗，还有根号里是Xm还是Xn

追问

是下标