十个高数问题（空间解析几何与向量代数）

Question

小弟在自学高数 遇到目前几个问题不会，请说详细，我不是要答案，我是想学会怎么做，答案我有，所以请把每道题都说明怎么得出来的。问题比较多，谢谢啦 。如果回答的好，我在追加50分。
谢谢啦
问题：
1.求同时垂直与向量a={2，1，1}和b={4，5，3}的单位向量。

2.设向量a=i+j-k,b=2i+j+k,则与a和b都垂直的单位向量是？

3.求下列平面的法向量及平面所经过的一点（法向量我会，就是不会求点，答案我看了 没看明白，请说详细）
(1)5x-3y-31=0 (2)3x+4y+7z+14=0

4.将方程组3x+2+z-2=0,x+2y+3z+2=0 变为参数式和对称式方程.(这样的题有唯一答案么？还是求出任意一点就可以？为什么我总与答案对不上)

5.求满足通过点P（3，1，-2）及直线L：5分之x-4=2分之y+3=1分之2的平面方程

6.已知｜a｜=3,｜b｜=5,｜a+b｜=6,则｜a-b｜=? (这题我一点都不会说详细)

7.若向量a,b,c两两的夹角都为3分之∏,且｜a｜=4，｜b｜=2，｜c｜=6，则 ｜a+b+c｜=?

8.设向量a与b平行但方向相反，且｜a｜>｜b｜>0，则下列式子正确的式
A。｜a+b｜<｜a｜-｜b｜ B.｜a+b｜>｜a｜-｜b｜
C. ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ D.｜a+b｜=｜a｜-｜b｜

9，已知向量a={1,1,1},则垂直与a及y轴的单位向量B=？

10。已知A（1，3，-2），B（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？
过程要详细点啊我是 数学菜鸟 呵呵

Answer 1

我只告诉你要点：
1,2,9 的要点是向量的外积(也叫叉积/向量积/矢量积)。

3,5,10 的要点是知道平面的法向量和平面一般方程的关系。
3. 任取一组y，z代进方程，解出x就可以了。
5. 在直线上任取一点X, PX和直线方向向量的外积就是平面的法向量。

4. 很显然是不唯一的，不过一定可以通过变量代换从一个表示变换到另一个表示，因为直线是唯一的。

6,7 的要点是|a|^2=(a,a)，即要知道向量的内积。
6中用到的恒等式叫平行四边形公式。

8.这个不会我实在很无语，最简单的就是这道。

建议：好好看书，你的基础还很差，需要慢慢体会教材上的概念。

Answer 2

1.求同时垂直与向量a={2，1，1}和b={4，5，3}的单位向量。
解答：
设单位向量为:c={p,q,r}
点乘：a.c=0, 2p+q+r=0 [1]
点乘：b.c=0, 4p+5q+3r=0 [2]
解得：p=-r/3, q=-r/3
p²+q²+r²=1,
代入 p=-r/3, q=-r/3
得到 r=3/根号11=(3根号11)/11
∴ c={-(根号11)/11，-(根号11)/11，(3根号11)/11}

2.设向量a=i+j-k,b=2i+j+k,则与a和b都垂直的单位向量是？
解答：
设单位向量是：c=pi+qj+rk
点乘：a.c=0, p+q-r=0 [1]
点乘：b.c=0, 2p+q+r=0 [2]
解得：p=-2r, q=3r
p²+q²+r²=1,
代入 p=-2r, q=3r
得到 r=1/根号14=(根号14)/14
∴ c={-(根号14)/7，3(根号14)/14，(根号14)/14}

3.求下列平面的法向量及平面所经过的一点（法向量我会，就是不会求点，答案我看了 没看明白，请说详细）
(1)5x-3y-31=0 (2)3x+4y+7z+14=0

4.将方程组3x+2+z-2=0,x+2y+3z+2=0 变为参数式和对称式方程.(这样的题有唯一答案么？还是求出任意一点就可以？为什么我总与答案对不上)

5.求满足通过点P（3，1，-2）及直线L：5分之x-4=2分之y+3=1分之2的平面方程

6.已知｜a｜=3,｜b｜=5,｜a+b｜=6,则｜a-b｜=? (这题我一点都不会说详细)

7.若向量a,b,c两两的夹角都为3分之∏,且｜a｜=4，｜b｜=2，｜c｜=6，则 ｜a+b+c｜=?

8.设向量a与b平行但方向相反，且｜a｜>｜b｜>0，则下列式子正确的式
A。｜a+b｜<｜a｜-｜b｜ B.｜a+b｜>｜a｜-｜b｜
C. ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ D.｜a+b｜=｜a｜-｜b｜

9，已知向量a={1,1,1},则垂直与a及y轴的单位向量B=？

10。已知A（1，3，-2），B（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？

Answer 3

1.求同时垂直与向量a={2，1，1}和b={4，5，3}的单位向量。
解答：
设单位向量为:c={p,q,r}
点乘：a.c=0, 2p+q+r=0 [1]
点乘：b.c=0, 4p+5q+3r=0 [2]
解得：p=-r/3, q=-r/3
p²+q²+r²=1,
代入 p=-r/3, q=-r/3
得到 r=3/根号11=(3根号11)/11
∴ c={-(根号11)/11，-(根号11)/11，(3根号11)/11}

2.设向量a=i+j-k,b=2i+j+k,则与a和b都垂直的单位向量是？
解答：
设单位向量是：c=pi+qj+rk
点乘：a.c=0, p+q-r=0 [1]
点乘：b.c=0, 2p+q+r=0 [2]
解得：p=-2r, q=3r
p²+q²+r²=1,
代入 p=-2r, q=3r
得到 r=1/根号14=(根号14)/14
∴ c={-(根号14)/7，3(根号14)/14，(根号14)/14}

3.求下列平面的法向量及平面所经过的一点（法向量我会，就是不会求点，答案我看了 没看明白，请说详细）
(1)5x-3y-31=0 (2)3x+4y+7z+14=0

4.将方程组3x+2+z-2=0,x+2y+3z+2=0 变为参数式和对称式方程.(这样的题有唯一答案么？还是求出任意一点就可以？为什么我总与答案对不上)

5.求满足通过点P（3，1，-2）及直线L：5分之x-4=2分之y+3=1分之2的平面方程

6.已知｜a｜=3,｜b｜=5,｜a+b｜=6,则｜a-b｜=? (这题我一点都不会说详细)

7.若向量a,b,c两两的夹角都为3分之∏,且｜a｜=4，｜b｜=2，｜c｜=6，则 ｜a+b+c｜=?

8.设向量a与b平行但方向相反，且｜a｜>｜b｜>0，则下列式子正确的式
A。｜a+b｜<｜a｜-｜b｜ B.｜a+b｜>｜a｜-｜b｜
C. ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ D.｜a+b｜=｜a｜-｜b｜

（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？9，已知向量a={1,1,1},则垂直与a及y轴的单位向量B=？

10（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？得
。已知A（1，3，-2），B

Answer 4

可以用施密特正交法去求正交向量。