高数空间解析几何与向量代数问题：求抛物线z=1+x^2+y^2的一个切平面
使它与抛物线及圆柱面(x-1)^2+y^2=1所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程
我的思路是这样的：
设切点为(a,b,c),F(x,y,z)=1+x^2+y^2-z
Fx=2x Fy=2y Fz=-1
法线向量=(2a,2b,-1)
切平面方程为(x-a)2a+(y-b)2b-(z-c)=0
-π/2≤θ≤π/2 0≤ρ≤2cosθ
根据切平面方程和抛物面方程，得2aρcosθ+2bρsinθ-2a^2-2b^2+c≤z≤1+ρ^2
V=∫∫∫dv……之后的步骤就不写了
我觉得思路好像没什么错 不过我在算的时候很麻烦 我没算下去
比如说那个z的范围好长一串啊 是不是我哪里算的不对
还是有简单的方法？谢谢了
令f(x，y，z)=x^2+y^2-z，则f`x｜（1，2，5）=2x｜（1，2，5）=2，f`y｜（1,2,5）=2y｜（1，2，5）=4，f`z｜（1，2，5）=-1｜（1，2，5）=-1，故这一点的法向量为（2，4，-1)，切平面为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0。
求法是在平面内找两个不共线的向量，待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了，为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x，为x代值即可得到一个最简单的法向量。
扩展资料：
注意事项：
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍。
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数乘向量的消去律：如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b，如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
参考资料来源：百度百科-向量
参考资料来源：百度百科-切平面
参考资料来源：百度百科-抛物线
答案：这一点的法向量为（2，4，-1），切平面为2（x-1）+4（y-2）-（z-5）=0。
令f（x，y，z）=x^2+y^2-z，
则f`x｜（1，2，5）=2x｜（1，2，5）=2，
f`y｜（1，2，5）=2y｜（1，2，5）=4，f`z｜（1，2，5）=-1｜（1，2，5）=-1，
例如：
过直线x-5y-16=0，2y-z+6=0的平面方程可设为
x-5y-16+a（2y-z+6）=0，
将点M（2，-3，1）带入上式，有
0=2+15-16+a（-6-1+6）， a=1，
所以，所求平面方程为 0=x-5y-16+2y-z+6=x-3y-z-10
共同点：
①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
本回答被网友采纳嗯。是的。