如何判断无穷级数的敛散性？

Question

如何判断无穷级数的敛散性？一若∑Un存在极限,则∑Un=limSn=S，则∑Un收敛。
二若∑Un收敛，则limUn=0 反之limUn≠0,则∑Un发散。
这两个结论正确么？如果两个都是正确的，我感觉好像矛盾？

Answer 1

老师您好！

我遇到如下几个敛散性判断问题，想请教老师：

(4)我觉得，原式小于1/(n^2), 而1/(n^2)的级数是p>1的p-级数，是收敛的。所以原级数是收敛的——但答案却是发散

(8)我以为这是很明显的发散（把sin(pi/3^n)忽略之），谁知答案是收敛

(14)我完全没有思路

4.你用的这个比较判别法是对正项级数来说的，这个级数不是正项级数，除了n为1的时候，都是后边的那个大，所以是发散的
8.大的发散小的不一定分散的
14
看看这个是不是交错级数呢
判断级数收敛性的方法有好几种的啊，你总结了吗？关键你要分清楚他们都是对什么类型的级数应用的，不要用乱了

追问

比较法只有在级数是正向级数的时候才可以使用

第4小题不是正向级数不可以使用比较打

法

谢谢你哟

追答

不用谢！^_^

追问

什么类型的级数该用什么方法呢？

Answer 2

这两个都是正确的，一是收敛的定义，可以判断收敛但不常用。二是收敛的必要条件，经常用来判断发散。两者不矛盾。
你可能把极限弄错了。一是部分和的极限，二是通项的极限，两码事 。追问

好的谢谢

部分和，取其中的一部分？

追答

是前 n 项和，叫部分和 。n 趋于无穷时就是全部和 。

追问

但是算极限的时候不是都要趋近去无穷？

追答

lim (1+1/2+1/3+...+1/n) 的极限与 lim(1/n) 的极限一样吗？
前者是部分和（前 n 项和）的极限，等于无穷大，后者是通项的极限，等于 0 。

追问

但是∑这个符号不就是n项相加么？

本回答被提问者采纳

Answer 3

阶乘分之一那个级数是收敛的（收敛到e），图中的级数小于阶乘分之一那个级数

Answer 4

完全正确哇，您是哪点认为不对劲。追问

有时候做题的时候可以求出极限，极限也不等于0，所以我觉得有点矛盾啊

这两个应该是不同的条件，可是在什么时候应该用哪个呢？

追答

极限≠0，那麼只要是个常数，也是收敛

追问

就是这两个是同时可以成立的？

追答

对哇

追问

图里的那个题目老师你会么？我的这个矛盾就是来源于这个题

追答

我帮你算一下

追问

好的谢谢

追答

这个题我算了是发散

你的结果呢

为了解决你觉得困惑，我想看看你是如何计算的

追问

我算的是收敛吧

追答

极限是一个数

根据你给的定义说明收敛

说明发散

发散

你给的两个性质，第一条性质说的是无穷级数本身等於某个极限＝常数，说明收敛

第二个说的是利用级数的通式，单单算个极限来判定

追问

那这个题呢？

老师是因为这个极限算出来不等于0所以才发散么

追答

对啊！