定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+1)=-f(x),则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=

Question

如题所述

Answer 1

解：由题意知，f(x)=f(x－2) ∴f（x＋2）=f【（x＋2）－2】=f（x），即f（x）=f（x＋2）∴f（x）的最小正周期为2又f（x）是定义在R上的奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0∴f（﹣1）=﹣f（1）= f（﹣1＋2）=f（1）∴2f（1）=0 ∴f（1）=0 ， f（﹣1）=0..又当x属于(0,1)时,f(x)=2^x / (4^x+1)令﹣1＜x＜0,则0＜﹣x＜1∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2^（﹣x） / 【4^（﹣x）＋1】=﹣2^x / (4^x+1)∴f（x）=﹣2^x / (4^x+1) ，（ ﹣1＜x＜0）............................{ 0 ， x=﹣1...........{ ﹣2^x / (4^x+1) ， ﹣1＜x＜0∴f(x)={ 0， x=0...........{ 2^x / (4^x+1) ， 0＜x＜1...........{ 0 ， x=1
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Answer 2

f(x+1)=-f(x)=f(-x)
当x=0 f(1)=f(0)
x=1 f(2)=f(-1)=-f(1)=f(0)
x=2.....f(2)=f(0)
又奇函数在x=0有定义。f(0)=0
所以
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=7f(0)
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Answer 3

f(x+1)=-f(x)
f(x+2)=f[(x+1)+1]
=-f(x+1)
=f(x)
所以周期T=2
由f(x)在R上是奇函数知
f(-x)=-f(x)
将x=0代入上式知，f(0)=0;
由f(x+1)=-f(x)知，f(1)=-f(0)=0;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=f(1)+f(0+2)+f(1+2)+f(0+2*2)+f(1+2*2)+f(0+3*2)+f(1+3*2)
=0