如何用导数解决函数的单调性问题

Question

如题所述

Answer 1

f(x)和f‘(x)的关系：

f'(x)是f(x)的导函数。而导函数与函数的增减性有关，当导函数大于零，函数在这个区域上是增的，
导函数小于零，函数在这个区域上是减得。

求导函数时具有公式，比如下列求导：

f(x)=x³+x，那么f'(x)=3x²+1

f(x)=lnx，那么f'(x)=1/x

f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x

f(x)=sinx，那么f'(x)=cosx

针对于这道题目：a>0,0<b<c，证明(a+b)/(2a+b)<(a+c)/(2a+c)，求解如下:

设函数为 f(x)=(a+x)/(2a+x)

则导函数 f'(x)=a/(2a+x)^2  

因为 a>0 (2a+x)^2>0 

所以导函数是恒大于0的 

即函数在定义域上是增的 

又因为 b,c定义域内，且 0<b<c 

所以 f(b)<f(c) 

即 (a+b)/(2a+b)<(a+c)/(2a+c)

扩展资料：

常见函数的求导如下：

1、y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0

2、f(x)=x^n  (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1)  (x^n表示x的n次方)

3、f(x)=sinx   f'(x)=cosx

4、f(x)=cosx  f'(x)=-sinx

5、f(x)=a^x   f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)

6、f(x)=e^x   f'(x)=e^x

7、f(x)=logaX   f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)

8、f(x)=lnx   f'(x)=1/x (x>0)

9、f(x)=tanx   f'(x)=1/cos^2 x

10、f(x)=cotx  f'(x)=- 1/sin^2 x

导数运算法则如下：

1、(f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x)

2、(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

3、(g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2 

参考资料来源：百度百科-导数

Answer 2

定义域优先，求导，解不等式。

供参考，请笑纳。