为什么满秩就线性无关

Question

如题所述

Answer 1

秩，是指极大线性无关组中向量的个数。
满秩是指，极大线性无关组中，向量的个数，和向量组中向量的个数相等。
这就说明极大线性无关组把整个向量组的向量全部包括进来才行。否则极大线性无关组中的向量个数就不可能和向量组的向量个数相等。
而极大线性无关组的向量必须是线性无关的，否则怎么有资格称“线性无关组”？
所以，满秩的向量组，必然线性无关。这是秩的定义所决定的。

Answer 2

假如是满秩矩阵，则向量的秩数也就是这个向量组的极大线性无关组数。而通过极大线性无关组定义，例如从a1-a2-a3-a4向量组中拿出a1-a2-a3组成一个子组是线性无关的，然后再加入一个a4就变成了相关的，则秩数就是3。现在是满秩矩阵了，则必须拿出全部向量，全拿出的1234都是线性无关的，所以满秩矩阵对应的向量组本身就是线性无关的。

Answer 3

我举个例子你就理解了，现在有三个线性无关的数x1，x2,x3。他们是不能互相线性表出的对吧，也就是如果我把他们表达成一个矩阵，他们是不能通过初等变换相消的对吧。好，现在又来了一个y可以线性表出x1 x2 x3，那是不是y=k1x1+k2x2+k3x3对吧，那把他们表达成矩阵是不是就存在这样的k1 k2 k3把y给全部消掉，此时是不是就不能满秩了。
就是这个意思，如果全部线性无关，说明他们不能不存在一种情况可以消掉，那不就是满秩。希望可以理解