以下是一个函数可导但导数不连续的例子：
函数f(x)=x^3，该函数在x=0 处可导，且导数值为0。但在该点的左侧，函数值小于0，而在该点的右侧，函数值大于0。因此，f(x) 在x=0处导数值虽然连续，但函数值不连续。
更具体地说，根据导数的定义，我们有：
f'(0+)=lim(h->0-) [f(0+h)-f(0+)]/h=0；
f'(0-)=lim(h->0+) [f(h)-f(0+)]/h=0；
所以f(x)在x=0处可导，且导数值为0。但是，x趋向于0时，左侧的f(x)小于0，右侧的f(x)大于0，说明f(x)在x=0处不连续。
这样的例子表明，即使一个函数可导，也不能保证该函数的导数在函数的所有点上都连续。事实上，一个函数可能在任何点上可导，但在某些点上导数可能不连续。这是微积分中的一个基本概念。
类似的例子还包括 y=x^2(sin(1/x)-1)等。这些例子都是极限运算的难点所在，在解题时要注意使用极限的运算法则和极限的唯一性等知识。另外，对某些具体函数进行分析时，应注意函数在其定义域内是否可导以及是否有其他限制条件。
函数可导但导数不连续的作用
1、数学分析中，函数可导与可微是等价的，也就是说两者在本质上具有相同的信息。在求导数时，如果函数在某一点可导，那么它必定连续。但在实际应用中，某些特定的曲线可能会满足可导的条件，但导数却并不连续。这种情况下，我们需要考虑到这些不连续点的存在可能会对函数的其他性质产生影响。
2、某些曲线可能只在局部范围内满足可导的条件。这种情况在实际应用中可能存在，比如一些简单的几何图形或者简单的物理问题。此时，我们可以将这样的曲线视为近似满足导数的曲线。这些曲线的应用可能十分广泛，它们可以被视为简单问题的模型或者理论解释的参考模型。
3、可导函数的研究与解决现实生活中的一些复杂问题有关联。由于一些复杂现象常常在有限的区间内满足导数的条件，但在其他区间内却不满足，这为我们提供了一种可行的解决方案：可以假设它在一定区间内是可导的，然后再进一步考虑问题的影响因素或者存在的缺陷等。这样可以使问题简单化，有助于我们更清晰地看到问题的本质。