若n为自然数,n大于等于2，求证1/2-1/(n+1)＜1/2²+1/3²+……1/n²＜1-1/n

如题所述

推荐答案 2012-12-04

分析：采用放缩法，这是不等式证明的常用技巧！
证明：∵1/n²>1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
∴1/2²+1/3²+……1/n²>(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+[1/n-1/(n+1)]=1/2-1/(n+1)
即：1/2²+1/3²+……1/n²>1/2-1/(n+1)
又∵1/n²<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
∴1/2²+1/3²+……1/n²<(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/(n-1)-1/n]=1-1/n
即：1/2²+1/3²+……1/n²<1-1/n
∴1/2-1/(n+1)＜1/2²+1/3²+……1/n²＜1-1/n成立
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