证明：n>=2且为自然数，(n+1)/3<(n!)^(1/n)

Question

我已经想出来解法了，顺说，一楼那个是错的…

Answer 1

证明：用数学归纳法证明
当n=2时，左边=（2+1）/3=1 ，右边=(2!)^(1/2)=2 ，显然，左边<右边 成立
假设：当n=k时,等式成立，既有，(k+1)/3<(k!)^(1/k) 成立
当n=k+1时，左边=(k+2)/3=(k+1)/3+1/3=(k!)^(1/k)+1/3
<=2根号(k!)^(1/k)*（1/3）（用均值不等式）=2(k!)^(1/2k)/3
<(k!)^(1/（k+1）)*（2/3）<(k!)^(1/（k+1）)*(k+1)^(1/（k+1）)
=((k+1)!)^(1/（k+1）)
右边=((k+1)!)^(1/（k+1）)=左边
所以，当n>=2且为自然数，(n+1)/3<(n!)^(1/n)

中间步骤中要证明2/3<1<(k+1)^(1/（k+1））

有看不懂的地方可留言追问

(k!)^(1/k)+1/3 =？

Answer 2

怎么证 ？