已知x＞－1，且x不等于0，n属于正整数，且n＞＝2，求证：（1＋x）的n次方＞1＋nx

Question

如题所述

Answer 1

证明：当x>-1，且x≠0时
(1) n=2时，左边=1+2x+x²>1+2x=右边，命题成立
(2)假设n=k时命题成立，即(1+x)^k>1+kx
则当n=k+1时
左边=1+(k+1)x+kx²>1+(k+1)x=右边
即n=k+1时命题也成立

命题对所有n∈Z+, n≥2均成立

题目中所要证明的结论就是贝努利不等式，通常采用数学归纳法证明。

Answer 2

用数学归纳法

证明：
当x>-1，且x≠0时
(1) n=2时，左边=(1+x)²=1+2x+x²>1+2x=右边，命题成立
(2)假设n=k时命题成立，即
(1+x)^k>1+kx
则当n=k+1时
左边=(1+x)^(k+1)=(1+x)(1+x)^k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx²>1+(k+1)x=右边
即n=k+1时命题也成立
综合(1)(2)，由数学归纳法可知
命题对所有n∈Z+, n≥2均成立