f(x)以T为周期,则f(x)·f'(x)是以T为周期的函数吗

Question

f(x)以T为周期,则f(x)·f'(x)是以T为周期的函数吗？
证明：f(x)以T为周期
故f'(x)是以T为周期，故f(x+T)·f'(x+T)=f(x)·f'(x)
但是举例：
f(x)=sinx,f'(x)=cosx，两者周期为2π，但f(x)·f'(x)=sinx·cosx=1/2sin2x，周期为π
哪个对？

Answer 1

因为f(x)是以T为周期的奇连续函数,所以f(x)＝f(x+T)＝f(x-T):,设g(x)=∫[a→x]f(t)dt,g(x+T)=∫[a→x+T]f(t)dt,设t＝u+T所以g(x+T)＝S[a-T,x]f(u)du＝S[a-T,a]f(u)du+S[a,x]f(u)du,因为f(x)是以T为周期的周期函数,所以S[a-T,a]f(u)du＝0,所以g(x+T)＝S[a,x]f(u)du＝g(x),所以 ∫[a→x]f(t)dt是以T为周期的周期函数.

Answer 2

以π为周期也必定以2π为周期,π为f(x)·f'(x)的最小正周期,同理2π也为f(x)·f'(x)的周期