导数不连续的例子

Question

1.对于一元函数，“函数可导”和“函数处处可导”意思一样吗？
2.一元函数处处可导，但导函数不连续(即导函数存在跳跃型间断点)的例子
对于问题2，我觉得：如果导函数存在其他类型间断点的话，那就相当于导函数在此处无意义，即原函数在此点不可导，也就是不满足题设“处处可导”，因此我加上了括号里的注释
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Answer 1

可导是连续的充分非必要条件
证明：
先证充分性：假设f(x)在x0可导
那么极限lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在（极限过程为x趋向于x0），因此lim[f(x)-f(x0)]=0,即limf(x)=f(x0),这说明f(x)在x0连续
再证非必要性：只需举出一个反义，见下
f(x)=|x|在0点连续，但不可导
证毕

Answer 2

是

f(x)=x^2sin(1/x) ， x不等于0；

      =0 ，                 x等于0

这个例子是处处可导，但是导函数不连续

追问

令g(x)为f(x)的导函数，则g(x)=2*x*sin(1/x)-cos(1/x)
显然，g(x)在x=0处无意义，即x=0是导函数g(x)的一个可去型间断点，并非我想要的跳跃性间断点，这个好像不是我想要的例子吧？(⊙▽⊙)

追答

注意在x=0，函数导数是存在的，用定义计算，结果为0。
所以函数处处可导，但是导函数在x=0处是一个震荡间断点

原来你要跳跃间断点，抱歉看漏了

Answer 3

第二回答你的那位是位有些迷糊的大神啊。一元函数处处可导的条件下，
说明 导函数不连续 不等价于说明''导函数存在跳跃间断点''。

Answer 4

x平方乘以德拉科函数在0处左右导数均为0，但仅在0点存在导函数所以不连续。以上