怎样验证函数在开区间内的可导性 连续性？

Question

高等数学求解

Answer 1

证明连续必须用定义
h→0，limf(x+h)=f(x)
严格证明需要ε-δ语言，中间需要构造不等式，对数学功底要求比较高。

可导也要用定义证明
h→0，lim[f(x+h)-f(x)]/h
（这个证明沿用了证明连续的结论，就可以直接进行极限运算）一般直接用求极限的方法证明。

不过对于初等函数，都是分段连续可导的。只要是初等函数，只需要求出间断点（不连续点）和尖点（连续但不可导的点），然后逐段计算即可。

Answer 2

函数的连续性，可导性都是有定义的。对于函数定义区间上的一些特殊点，其可导性，连续性应该按照定义去证明。对于一个点的导数其实是按照一个极限表达式来定义的，因此按照极限的取法分为左导，右导，如果左右导数存在且相等则在函数在此可导。同样对于连续性也分为左连续，右连续。你可以仔细看看教材上的定义。