数列极限存在有界，这两种证明方法哪个好？第一个很抽象啊

Question

对M的取值不是很理解，为什么取最大值？

Answer 1

因为对于小于 N的正整数 i 有可能 有某个数i ,|xi|>ε+a
而一切大于N的正整数 i 必定有|xi|<ε+a
所以 对于任何一个i 只有 i <=N的 ，N的个正整数有|xi|>ε+a
因为任何一个i <=N的|xi|都是常数，
所以他们和ε+a中的最大值必定是|xn|中的最大值
所以必定有一个常数 M=max({xi | 1<i<=N } U {ε+a}) 使得 |xn|<=M;
如果不取最大值，假设取某个 M< max
1）先假设 max！=ε+a
那么 必有某个i 使得 |xi|=max 从而使得 |xi|<=M不成立，
从而不能证明必定有一个常数 M=max({xi | 1<i<=N } U {ε+a}) 使得 |xn|<=M;
证明失败!!!!!
2）再假设max=ε+a， |xi|<=M成立，但是ε+a<=M不成立，
而 |xi|<ε+a （i>N），这同样不能证明|xn|<=M;
虽然实际上|xn|<=ε+a，M=ε+a时，|xn|<=M是可以保证的，但是却证明不了!!!

于是一切证明都白做了！证明失败!!!!!!!!!

所以M取最大值可以保证 |xn|<=M;对一切正整数n都成立，于是数列有界！
数列有界获得了证明！

实际上这是数学归纳法!
至于两个方法,哪一个好的问题。
两个方法都不错！
第一个方法好理解一些。
第二个方法简捷一些。
数学问题，对错才是重要的！好不好理解与对错无关！！！！