关于求球体积的微积分推导公式求解?

Question

以上有2种证明方法，“证明法二”我觉得没什么问题，“证明法一”也正确，2种证明方法我都能看懂，但我就是有一点没弄明白，在“证明法一”里面的被积表达式为πr^2dz，但是为什么被积表达式不可以为πr^2dr，被积表达式为πr^2dr的话结果为2/3πr^3,当然我知道这个不正确啊,但是我不知道我把dz改为dr为什么会错，因为2种方法都是把球无限分割为圆柱体啊。

Answer 1

从你的问题叙述中可以看出：两种证明方法，你根本都没看懂。

证明法一：

证明过程截图：

看到了吧，是厚度。r是圆盘半径，不是厚度，所以哪里来的dr?

证明法二：

证明过程截图：

不是你说的圆柱体，而是球壳。也就是利用球体表面积公式，推导球体体积公式。

Answer 2

上一位答主说的没错，你压根没看懂