解：设球半径为a，圆心位于原点，则其上半部的方程为z＝（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5．
dz／dx＝－x／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5，dz／dy＝－y／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5．由此得，球体表面积为：A＝2∫∫（D）a／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5dρ。其余部分详见图。
扩展资料
极限理论
十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。
十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。
整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。
极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。
把微元面积当圆台处理。圆台的侧面积公式=（上周长+下周长）/2 X 母线长，这母线长就是弧元长ds。得来全不费功夫，总是找到理论根据了哈。下面是正式的圆台公式：
圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
截面近似圆台的上半径r1=y+dy，下半径 r2=y, 高h=dx
表面积微元 dS=π(y+y+dy)√(dx^2+dy^2)=π(2y+dy)√(dx^2+dy^2)
体积的微元 dV=πdx/3(y^2+y(y+dy)+(y+dy)^2) =π/3(3y^2+3ydy+dy^2)dx
舍掉二阶无穷小项，有：
体积 dV=πy^2 dx，表面积 dS=2πy √(dx^2+dy^2）
所有的谜团都完美解决，也掌握微元的推导方法，对微元计算不可凭想象胡猜。那篇文章总算点到要点了，圆台侧面积公式是关键。圆台的侧面积公式=（上半径+下半径）X π X 母线长。母线长就是积分中的弧元长， 这应该满意了吧。这个问题就算彻底解决了，用积分解决问题的水平大大提高。
五、求微元的方法
我们求积分，必须先求微元，如果球表面积的微元用周长乘以高来积分，就犯了荒唐错误，而有时某情况正确，恰是碰巧如球体积，所以，从这个可笑事件中是必须吸取瞎猜的教训，要掌握好微元的正确推导方法。
如积分求曲线与X轴围成的面积，当然可以直接写成积分S=∫ydx，但我们仍然用微元推导，微元是个“直角梯形”：下底y,上底y+dy,高dx ，则微元:
dS=(y+y+dy)/2 dx=(y+1/2dy)dx
去掉二级无穷小, dS=ydx S=∫ydx
再如，曲线长度的微元就是直角三角形的斜边，符合勾股定理，
曲线长度dL=√(dx^2+dy^2)。L=∫√(dx^2+dy^2)=∫√(1+y'^2)dx
球的截面微元是个圆台， 圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
球体积的微元 dV=πy^2 dx。V=π∫y^2dx
表面积微元是圆元的侧面积， 圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
球表面积微元 dS=2πy √(dx^2+dy^2）。
S=2π∫y√(dx^2+dy^2）=2π∫y√(1+y'^2)dx
这样，微元以三角形、梯形、圆台等方式用合法公式推导，我们就不会再犯低级的主观错误。
注：有网友问 √(dx^2+dy^2)这是不是二阶无穷小？ 答：不是，平方再开方，是一阶无穷小了。多总结，悟吧。这上面一大段是我悟出的，书上也没有。
下图提供，六种球面面积积分法，八种体积积分法。
方法尚有很多，这里只能抛砖引玉。
点击放大、再点击再放大：
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.
球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)
则某个大圆的半圆方程式为y=√(r^2-x^2)，
所以表面积是∫(-r→r)2πy√(1+y'^2)dx=∫(-r→r)2π√(r^2-x^2)√(1+(1/2*(-2x)/√(r^2-x^2))^2)dx=∫(-r→r)2πrdx=2πrx|(-r→r)=4πr^2
体积是∫(-r→r)πy^2dx=∫(-r→r)π(r^2-x^2)dx=πr^2x|(-r→r)-1/3πx^3|(-r→r)=2πr^3-2/3πr^3=4/3πr^3