如何证明连续的函数其反函数也是连续的呢？

Question

请给出证明过程，谢谢！如果好还可以追加分数

Answer 1

正文:

这个是反函数的连续性定理，一般的非数学专业应该不会要求这个定理证明吧！
定理完整描述： 设y=f(x)在a<=x<=b上严格增加（减少）且连续，又f(a)=A f(b)=B 则在A<=y<=B上存在着y=f(x)的反函数x=g(y)，g(y)在[A,B]也是严格增加（减少）且连续的。
证明：不妨设y=f(x) 在a<=x<=b上是严格增加且连续的
1）首先证明对任一点y0∈[A,B] 存在唯一的x0∈[a,b] 使得f(x0)=y0 ，这样按反函数概念，反函数g(y)在点y0有定义，且g(y0)=x0
若y0就是A或者B 那么x0就是a或者b
若A<y0<B 则由连续函数中间值定理，在(a,b)中必有一点x0，使f(x0)=y0，并且它是唯一的
事实上，由于f(x)是严格增加的，当x>x0时，f(x)>f(x0)；
而当x<x0 时,f(x)<f(x0)，所以在[a,b]中没有其他点x，使f(x)=y0，因此对每一个y∈[A,B]，在[a,b]内存在唯一的x，使f(x)=y，这就是说，在A<=y<=B上 y=f(x)得反函数x=g(y)是存在的
2) 其次证明g(y)在A<=y<=B 上也是严格增加的。
事实上，对[A,B]上任意两点y1,y2，若y1<y2 则必有 g(y1)<g(y2)
否则，若g(y1)>=g(y2) 且记x1=g(y1) x2=g(y2) 则有 y1=f(x1) y2=f(x2)
又因f(x)是严格增加的，当x1>=x2时，应有y1>=y2,这与假设矛盾
3）最后证明g(y)在[A,B]上连续
按定义，就是要证明：对任给的ε>0 存在δ>0，当|y-y0|<δ时，有|g(y)-g(y0)|<ε
记g(y0)=x0 g(y)=x 则f(x0)=y0 f(x)=y
于是上述不等式就是：|x-x0|<ε
即 x0-ε<x<x0+ε
由于g(y)严格增加的，要这个不等式成立，只要 f(x0-ε)<f(x)<f(x0+ε)即可
也就是只要 f(x0-ε)-f(x0) <y-y0 < f(x0+ε)-f(x0)
因此可取 δ=min{f(x0)-f(x0-ε) , f(x0+ε)-f(x0) } 即可
得证。

注：若y0是区间端点A或者B，则|y-y0|<δ 应换成 0<=y-A<δ 或者0<=B-y<δ 再进行同样的讨论
同时在上述证明中由于ε可任意小，当y∈(A,B)时有x0∈(a,b)，因而总可取ε为足够小使x0-ε，及x0+ε都在[a,b]内
从而 f(x0-ε) ， f(x0+ε)是有意义的。

参考资料：http://www.hongzhinet.com/homeworkhelp/question_content292897.asp

Answer 2