反函数的连续性？

Question

如题所述

Answer 1

定理(反函数的连续性) 若函数f(x)在闭区间［a,b］上严格递增(递减)且连续，则反函数x＝f－1（y）。在［f(a),f(b)］(［f(b),f(a)］)上严格递增(递减)且连续。

证: x＝f－1(y)严格单调性前面已经证明，下面来证明连续，不妨设f(x)在［a,b］上严格递增，
则f(［a,b］)＝［f(a),f(b)］于是x＝f－1（y）的定义域是［f(a),f(b)］

设y0∈(f(a),f(b))，且x0＝f－1（y0），则x0∈(a,b),y0＝f(x0)，任给ε＞0，若要｜f－1（y）－f－1(y0)｜＜ε，有｜x－x0｜＜ε即x0－ε＜x＜x0＋ε，设y1＝f(x0－ε)，y2＝f(x0＋ε)，由f(x)严格递增，只要f(x0－ε)＜f(x)＜f(x0＋ε)，即y1＜y＜y2，取δ＝min｛y2－y0，y0－y1｝。当｜y－y0｜＜δ时，有y0－δ＜y＜y0＋δ，由δ≤y2－y0且δ≤y0－y1，则y0＋δ≤y2且y1≤y0－δ，因此，y0－δ＜y＜y0＋δ时，有y1＜y＜y2，有｜f－1(y)－f－1（y0）｜＜ε，所以x＝f－1（y）在点y0处连续。?应用左、右连续定义，同样可证x＝f－1(y)在f(a),f(b)处的连续性。